نُرم و انواع آن

نُرم[1] چیست؟

نرم طول یا اندازه‌ی بردار است؛ بااین‌حال مفهوم نُرم در حوزه‌ی یادگیری ماشین و یادگیری عمیق اهمیت زیادی دارد؛ زیرا از آن برای ارزیابی خطای مدل استفاده می‌شود. 

  از نُرم برای محاسبه‌ی خطای میان خروجی یک شبکه‌ی عصبی و خروجی مورد انتظار (مقدار یا برچسب واقعی) استفاده می‌شود. نُرم تابعی است که یک بردار را به یک مقدار مثبت نگاشت می‌کند؛ این یعنی نُرم همواره یک مقدار مثبت است. برای پاسخ به پرسش نُرم چیست بیایید با این گزاره شروع کنیم: نُرم تابعی است با این ویژگی‌ها:

نُرم‌های بردار مقادیری غیرمنفی هستند. اگر به نُرم به‌عنوان طول یک بردار فکر کنید، به‌راحتی متوجه می‌شوید که چرا نمی‌توانند منفی باشند. نُرم‌های بردار فقط در صورتی صفر خواهند بود که خود بردار صفر باشد. نُرم‌ها از نامساوی مثلثی پیروی می‌کنند؛ به‌این معنا که نُرم مجموع تعدادی بردار، کمتر یا مساوی مجموع نرم‌های این بردارهاست. زمانی که یک بردار بلندتر می‌شود یا به‌اصطلاح کشیده می‌شود، ضریب کشیدگی در مقدار نُرم آن ضرب می‌شود.

نُرم L0

نُرم L0، طبق شرایطی که در به آن اشاره شد، درواقع یک نُرم نیست. این نُرم به تعداد کل عناصر غیرصفر در یک بردار اشاره می‌کند؛ برای مثال، نُرم L0 بردارهای (0،0) و (0،2) برابر با 1 است؛ زیرا فقط یک عنصر غیر صفر در آن‌ها وجود دارد. یک مثال عملی خوب از نُرم L0 داشتن دو بردار نام کاربری و رمز عبور است. درصورتی‌که نُرم L0 بردارها برابر با 0 باشد، ورود به سیستم موفقیت‌آمیز است؛ در غیر این صورت، اگر نُرم L0 برابر با ۱ باشد، به‌این معنی است که یا نام کاربری یا رمز عبور نادرست است. اگر هم نُرم L0 برابر با ۲ باشد، یعنی نام کاربری و رمز عبور هر دو نادرست است.

نُرم L1

این نُرم به‌عنوان فاصله‌ی منهتن یا نُرم Taxicab نیز شناخته می‌شود. نُرم L1 مجموع اندازه بردارها در یک فضاست. این نُرم معمولی‌ترین روش اندازه‌گیری فاصله‌ی میان بردارهاست که در آن جمع فاصله‌ی مطلق مؤلفه‌های بردار محاسبه می‌شود. برای مثال، بردار X = [3،4] را که در شکل ۱ داریم، در نظر بگیرید:

نُرم L1 به‌این شکل محاسبه می‌شود:

همان‌طور که در نمودار شکل ۱ مشاهده می‌کنید، نُرم L1 مسافتی است که باید میان مبدأ (۰/۰) تا مقصد (۳،۴) طی شود، دقیقاً مشابه نحوه‌ی حرکت تاکسی که در خیابان‌های شهر حرکت می‌کند تا به مقصد برسد.

نُرم L2

نُرم L2 با نام فاصله‌ی اقلیدوسی هم شناخته می‌شود و از معروف‌ترین نُرم‌هاست. این نُرم کوتاه‌ترین فاصله‌ی میان دو نقطه است.

با درنظرگرفتن بردار مثال قبل، نُرم L2 به‌این شکل محاسبه می‌شود:

همان‌طور که در نمودار شکل ۲ مشاهده می‌کنید، نُرم L2 سرراست‌ترین مسیر میان دو نقطه است.

نُرم L-infinity

این نُرم بیشترین مقدار را در میان هر مؤلفه‌ی بردار برمی‌گرداند. برای مثال، با داشتن بردار [6-، 4، 2] = X، نُرم L-infinity برابر با ۶ است. در نُرم L-infinity، فقط بزرگ‌ترین مؤلفه تأثیر می‌گذارد؛ اگر بردار شما نشان‌دهنده‌ی هزینه‌ی ساخت یک ساختمان باشد، با به‌حداقل‌رساندن نُرم L-infinity، هزینه‌ی گران‌ترین ساختمان را کاهش می‌دهیم.

---

[1] Norm